• Σπαζοκεφαλιά

• Άκουσα το παρακάτω “μαθηματικό” πρόβλημα χθες στην αναρρίχηση, μια και κάποιοι ψήνονται για κάτι τέτοια, here it goes: Έχουμε 4 ακέραια βάρη (π.χ. 1 kg, 6 kg κλπ) και ένα ζυγό ισορροπίας. Με το συνδιασμό αυτών μπορούμε να μετρήσουμε ό,τι ακέραιο βάρος μέχρι και 40 κιλά. Ποιά είναι τα βάρη; (ακέραια κι αυτά). Update 29/6: Λύση: Δείτε μέσα.

• early in the afternoon, Κυριακή 26 Ιουνίου 2005
  [ Random ] | Permalink | Comment!

5 σχόλια »

1. • #1
   • Δημήτρης Γλέζος
   • midnight, Τετάρτη 29 Ιουνίου 2005

   • Προσοχή, ακολουθεί spoiler!

     • Ξεκινώντας από τα μικρά νούμερα, επιλέγουμε καταρχήν το 1 για να έχουμε τόσο τους μονούς όσο και τους ζυγούς αριθμούς.
     • Μπορούμε να αφήσουμε το 2 στην άκρη και να επιλέξουμε το 3, αφού με το 3 στο ένα μέρος του ζυγού και με το 1 στο άλλο, μπορούμε να μετράμε τα 2kg.
     • Το 1 και το 3 μας δίνουν μέχρι και 4. O επόμενος αριθμός πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος δυνατός, όπου αφαιρώντας το άθροισμα των δύο προηγουμένων (το 4) να δίνει τον επόμενο ακέραιο αριθμό (το 5). Αυτός ο αριθμός είναι το: Χ-(1+3)=5 ⇒Χ=9.
     • Με το ίδιο σκεπτικό, 1+3+9=13, οπότε για να πάρουμε το 14 επιλέγουμε τον επόμενο να είναι Χ-13=14, άρα Χ=27.
     • Οι αριθμοί είναι οι 1, 3, 9, 27.
2. • #2
   • Alberich
   • late in the afternoon, Πέμπτη 30 Ιουνίου 2005

   • Ένα παρόμοιο

     Έχουμε 4 ακέραια βάρη (π.χ. 1 kg, 6 kg κλπ) και ένα ζυγό ισορροπίας. Με το συνδιασμό αυτών μπορούμε να μετρήσουμε ό,τι ακέραιο βάρος μέχρι και 81 κιλά. Ποιά είναι τα βάρη; (ακέραια κι αυτά)

3. • #3
   • Δημήτρης Γλέζος
   • late in the afternoon, Πέμπτη 30 Ιουνίου 2005

   • Με ένα ακόμη βάρος, μπορείς να μετρήσεις μέχρι και 121…

4. • #4
   • amarkos
   • noon, Παρασκευή 1^η Ιουλίου 2005

   • Μια διαφορετική, πιο αναλυτική λύση:

     Κάθε ένα από τα βαρίδια έχει 3 επιλογές: Να τοποθετηθεί στο ζυγό Α ή στο ζυγό Β ή να μην τοποθετηθεί καθόλου.
     Επιλέγουμε βάρη ίσα με τις διαδοχικές δυνάμεις του 3 δηλαδή 1,3,9 και 27 κιλά.

     Ένας αριθμός Μ γράφεται τριαδικό σύστημα ως εξής: Μ = 27*Χ3+ 9*Χ2 +3*Χ1 +Χ0 όπου τα Χi είναι 0,1 ή 2.

     Μας βολέυει όμως αντί για τιμές 0,1,2 να επιλέξουμε -1,0,1.

     Οπότε:
     +1 αν το βαρίδιο τοποθετείται στο ζυγό Α
     -1 αν είναι στο ζυγό Β
     0 αν το βαρίδιο δε βρίσκεται στη ζυγαριά

     Δηλαδή αν είναι το βαρίδιο στο Α το προσθέτουμε στα συνολικά κιλά, ενώ αν είναι στο Β το αφαιρούμε.

     Μερικά παραδείγματα:
     2=1*3 -1*1 = 3-1
     4=1*3 +1*1 = 3+1
     5=1*9 -1*3 -1*1 = 9-3-1
     6=1*9 -1*3 -0*1 = 9-3
     7=1*9 -1*3 +1*1 = 9-3+1
     8=1*9 -0*3 -1*1 = 9-1
     … κ.ο.κ.

     Συνολικά έχουμε 3^4=81 διαφορετικές περιπτώσεις. Με μια πρώτη ματιά φαίνονται πολύ περισσότερες από 40 που θέλαμε. Αν όμως το κοιτάξουμε καλύτερα θα διαπιστώσουμε ότι οι 81 περιπτώσεις είναι χωρισμένες σε 81=1+40+40

     μια περίπτωση είναι η 0000 όπου δεν υπάρχει βαρίδιο στη ζυγαριά

     Οι 40 περιπτώσεις ζυγίζουν θετικά βάρη και οι άλλες 40 αρνητικά (όπως προκύπτει από τον τύπο).

     Αρνητικό βάρος σημαίνει ότι το προς ζύγιση αντικείμενο πρέπει να τοποθετηθεί στον ζύγό Α και στην ουσία οι 40 αρνητικές ταυτίζονται με τις 40 θετικές.

     Σε κάθε μία από τις 40 θετικές περιπτώσεις παίρνουμε και ένα διαφορετικό αριθμό από το 1 μέχρι το 40
     (=27+9+3+1)

5. • #5
   • Δημήτρης Γλέζος
   • in the night, Κυριακή 3 Ιουλίου 2005

   • Αμάρκε, έγραψες…

     Όπως φαίνεται τελικά, πρόκειται απλά για την γεωμετρική σειρά 3ⁿ: 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴, …

---

Comment!

---

• ← Α-συνέχεια 
• Αναρρίχηση στο Αλεποχώρι →
• ↑ Return